Hva er et kontrapositivt bevis?

Et kontrapositivt bevis baserer seg på at $p \Rightarrow q$ betyr nøyaktig det samme som $(ikke q) \Rightarrow (ikke p)$ . Dette er lettest å se ved hjelp av et eksempel:

Eksempel 1

Hvis det har regnet, så er det vått på bakken.

Dette er en påstand

p \Rightarrow q,

der $p =$ «det har regnet» og $q =$ «det er vått på bakken». Påstanden

(ikke q) \Rightarrow (ikke p)

blir da den følgende:

Hvis det ikke er vått på bakken, så har det ikke regnet.

Du ser at disse to setningene logisk sier nøyaktig det samme på to litt forskjellige måter. (Med andre ord: De er ekvivalente.) Begge to sier at det ikke går an at det både har regnet og at det samtidig ikke er vått på bakken.

Teori

Den kontrapositive

$(ikke q) \Rightarrow (ikke p)$ er den kontrapositive til implikasjonen $p \Rightarrow q$ .

Les dette avsnittet sakte:

Siden

p \Rightarrow q

(ikke q) \Rightarrow (ikke p)

er ekvivalente, betyr det at om du kan bevise

(ikke q) \Rightarrow (ikke p)

har du også bevist at

p \Rightarrow q

. Dette er nyttig fordi det noen ganger er lettere å bevise

(ikke q) \Rightarrow (ikke p)

enn

p \Rightarrow q

Teori

Kontrapositive bevis

For å bevise at

p \Rightarrow q

holder det å bevise at

(ikke q) \Rightarrow (ikke p)

Altså, $(ikke q)$ impliserer $(ikke p)$ .

Ved kontrapositive bevis skal du altså lage en logisk kjede. Du begynner med

(ikke q)

. Utsagnet

(ikke q)

må implisere noe, som igjen impliserer noe annet og så videre til du ender med å implisere

(ikke p)

, der

(ikke p)

er det du skulle bevise fra

(ikke q)

Eksempel 2

Se på dette utsagnet om familierelasjonen til David Beckham og Brooklyn Beckham:

Brooklyn er sønnen til David impliserer at David er faren til Brooklyn.

p \Rightarrow q

Dette kan du skrive om og fremdeles si noe som er sant rent logisk (du vet jo at det ikke stemmer rent informativt):

David er ikke faren til Brooklyn impliserer at Brooklyn ikke er sønnen til David.

$(ikke q) \Rightarrow (ikke p)$

Påstanden er logisk sann, fordi om David ikke var faren til Brooklyn ville heller ikke Brooklyn vært sønnen til David.

Eksempel 3

Bevis at kvadratroten av et irrasjonalt tall er et irrasjonalt tall

I dette tilfellet vil du vise at hvis et tall $a$ er irrasjonalt, så er tallet $\sqrt{a}$ også irrasjonalt. Du vil altså vise en implikasjon. Implikasjonen du vil vise er $p \Rightarrow q$ , der $p =$ « $a$ er irrasjonal» og $q =$ « $\sqrt{a}$ er irrasjonal». Den kontrapositive til denne er $(ikke q) \Rightarrow (ikke p)$ , eller med andre ord

$\sqrt{a}$ er ikke irrasjonal $\Rightarrow a$ er ikke irrasjonal

Siden «ikke irrasjonal» er det samme som «kan skrives som en brøk», betyr dette at du kan begynne med antagelsen « $\sqrt{a}$ kan skrives som en brøk», for så å prøve å vise at $a$ kan skrives som en brøk. Klarer du dette er du i mål med det kontrapositive beviset.

Skriv antagelsen din som likningen $\sqrt{a} = \frac{p}{q}$ . Du vil vise at $a$ er en brøk, så kvadrer begge sider. Da får du $a$ på den ene siden og en brøk på den andre, så du har vist at $a$ ikke er irrasjonal. Dette er det samme som nektelsen $(ikke p)$ . Dermed har du vist at

(ikke q) \Rightarrow (ikke p) .

Matematisk kan du skrive resonnementet over på denne måten: Antar

\sqrt{a} = \frac{p}{q}, der p og q er heltall .

Kvadrer begge sider og få at

a = \frac{p^{2}}{q^{2}} .

Det viser at $a$ kan skrives som en brøk, slik at $a$ ikke er et irrasjonalt tall. Du har altså vist at

\begin{matrix} \sqrt{a} er ikke irrasjonal \\ ⇓ \\ \sqrt{a} = \frac{p}{q} \\ ⇓ \\ a = \frac{p^{2}}{q^{2}} \\ ⇓ \\ a er ikke irrasjonal, \end{matrix}

som er den kontrapositive versjonen av det du ville vise, som var at dersom $a$ er et irrasjonalt tall så må $\sqrt{a}$ være et irrasjonalt tall.

Q.E.D

Grunnen til at et kontrapositivt bevis ofte funker når du skal gjøre beviser med irrasjonale tall er at du i stedet for å jobbe med påstander som « $a$ er irrasjonal» kan jobbe med påstander som « $a$ er ikke irrasjonal». Disse er mye lettere å jobbe med, fordi et tall som ikke er irrasjonalt er en brøk.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Hva er et direkte bevis?

Neste oppslag

Hva er et induksjonsbevis?

Tilbake