Deriverbarhet

Sammen med kontinuitet kan du også snakke om hvorvidt en funksjon er deriverbar. En funksjon er deriverbar når den både er kontinuerlig i punktet og ikke har en «knekk». En knekk oppstår dersom stigningstallet plutselig forandrer seg. Dette ser du lett på bildet under.

Funksjoner med «knekk» oppstår når du har funksjoner som har delt forskrift. Det vil si at du har et funksjonsuttrykk på et intervall og et annet funksjonsuttrykk på et annet intervall. På figuren under ser du at $f (x) = x^{2} + 2$ når $x \leq 1$ (blå graf) og at $f (x) = - 2 x + 5$ når $x > 1$ (grønn graf). Matematisk skrives dette

f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 2 & når x \leq 1, \\ - 2 x + 5 & når x > 1 . \end{matrix}

Funksjonen f(x) har en markant knekk for x=1

Selv om grafen, i dette tilfellet, er kontinuerlig i $x = 1$ , er den altså ikke deriverbar i $x = 1$ . Knekken oppstår når du kan tegne mange tangenter til grafen i et punkt. I punkter hvor du kan tegne mange tangenter er ikke den deriverte bestemt og du kan si at den ikke er deriverbar.

For å forklare deriverbarhet på en skikkelig måte må du vite hva det vil si at grenser kommer ovenfra og nedenfra.

Teori

Grenser ovenfra og nedenfra

En grense $f (a)$ kommer ovenfra når du følger $x$ -verdiene fra $x$ -verdier større enn $x = a$ og beveger deg mot $a$ . Du skriver det
$\lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a) .$
En grense $f (a)$ kommer nedenfra når du følger $x$ -verdiene fra $x$ -verdier mindre enn $x = a$ og beveger deg mot $a$ . Du skriver det
$\lim_{x \to a^{-}} f (x) = f (a) .$

Du kan nå få definisjonen av deriverbarhet.

Teori

Deriverbarhet

Du sier at en funksjon er deriverbar i et punkt $x = a$ hvis $f (x)$ er kontinuerlig i $x = a$ og

\lim_{x \to a^{-}} f^{'} (x) = \lim_{x \to a^{+}} f^{'} (x) .

NB! Når du skal sjekke deriverbarhet i en delt forskrift bruker du det funksjonsuttrykket som er definert for verdier mindre enn $a$ i $\lim_{x \to a^{-}} f^{'} (x)$ og det funksjonsuttrykket som er definert for verdier større en $a$ i $\lim_{x \to a^{+}} f^{'} (x)$ .

Eksempel 1

Avgjør om
$f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 2 & når x \leq 1, \\ - 2 x + 5 & når x > 1 . \end{matrix}$

fra bildet over er deriverbar

For å svare på dette må du først sjekke om $f (x)$ er kontinuerlig. Altså, er $\lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ for alle $a \in ℝ$ ? For $a \leq 1$ er

\lim_{x \to a} f (x) = \lim_{x \to a} x^{2} + 2 = a^{2} + 2 = f (a),

og for $a > 1$ er

\lim_{x \to a} f (x) = \lim_{x \to a} - 2 x + 5 = - 2 a + 5 = f (a) .

Grenseverdien eksisterer og du kan konkludere med at $f (x)$ er kontinuerlig.

Nå må du sjekke om

\lim_{x \to a^{-}} f^{'} (x) = \lim_{x \to a^{+}} f^{'} (x)

for alle $x \in ℝ$ . Du begynner med å finne $f^{'} (x)$ :

f^{'} (x) = {\begin{matrix} 2 x & når x \leq 1, \\ - 2 & når x > 1 . \end{matrix}

Du sjekker om $f$ er deriverbar i punktet $x = 1$ . Grensen nedenfra først:

\lim_{x \to 1^{-}} f^{'} (x) = \lim_{x \to 1^{-}} 2 x = 2 \cdot 1 = 2 .

Så grensen ovenfra:

\lim_{x \to 1^{+}} f^{'} (x) = \lim_{x \to 1^{+}} - 2 = - 2 .

Siden

\lim_{x \to 1^{-}} f^{'} (x) = 2 \neq - 2 = \lim_{x \to 1^{+}} f^{'} (x),

så vet du at $f (x)$ ikke er deriverbar.

Eksempel 2

Finn hvor funksjonen

f (x) = \frac{2 x^{2} - 3}{x^{2} - 4}

er kontinuerlig og deriverbar

Siden dette er en rasjonal funksjon, så vet du at den er diskontinuerlig der den har vertikale asymptoter. Dette skjer når nevneren blir 0. Du løser for dette:

\begin{array}{l} x^{2} - 4 & = 0 \\ x^{2} & = 4 \\ x & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \end{array}

Funksjonen $f (x)$ er altså kontinuerlig for alle verdier av $x$ unntatt for $x = 2$ og $x = - 2$ . Du skriver dette matematisk som at $x \in ℝ ∖ {- 2, 2}$ ( $x$ element i $ℝ$ uten $x = - 2$ og $x = 2$ ).

Siden en funksjon må være kontinuerlig i et punkt for å være deriverbar der, kan du også konkludere med at funksjonen ikke er deriverbar i punktene $x = - 2$ og $x = 2$ . Spørsmålet er da om det finnes andre punkter der $f (x)$ ikke er deriverbar. Du sjekker ved å regne ut

\lim_{x \to a^{-}} f^{'} (x) = \lim_{x \to a^{+}} f^{'} (x) .

Først finner du er uttrykk for den deriverte:

\begin{array}{l} f^{'} (x) & = \frac{4 x \cdot (x^{2} - 4) - (2 x^{2} - 3) \cdot 2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \\ = \frac{4 x^{3} - 16 x - 4 x^{3} + 6 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \\ = \frac{- 10 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \\ f^{'} (a) & = \frac{- 10 a}{{(a^{2} - 4)}^{2}} \end{array}

Du vet at $f^{'} (a)$ er definert for alle $a$ foruten der nevneren i $f^{'} (a)$ ikke er definert. Dette skjer der nevneren er 0. Du setter derfor nevneren lik 0 og løser for $a$ : $\begin{array}{l} {(a^{2} - 4)}^{2} & = 0 \\ a^{2} - 4 & = 0 \\ a^{2} & = 4 \\ a & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \end{array}$

Altså er $f$ deriverbar for alle $x \in ℝ ∖ {- 2, 2}$ ( $x$ element i $ℝ$ uten $x = - 2$ og $x = 2$ ).

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Hvordan bruker man definisjonen av den deriverte?

Neste oppslag

Derivasjonsregler

Tilbake