Rasjonale funksjoner

Funksjoner med $x$ i nevneren kaller du rasjonale funksjoner. Disse er på brøkform og har asymptoter. Asymptoter er usynlige linjer i koordinatsystemet som grafen beveger seg mot, men aldri treffer. Rasjonale funksjoner kan se ut som grafene i figuren under.

Teori

Rasjonal funksjon

En rasjonal funksjon uttrykkes på denne formen:

f (x) = \frac{g (x)}{h (x)}

der $g (x)$ og $h (x)$ er polynomfunksjoner.

Tre rasjonale funksjoner f(x), g(x) og h(x) plottet sammen

På figuren over ser du grafene til funksjonene

\begin{array}{l} f (x) = \frac{1}{x} g (x) = \frac{2 x}{x + 1} h (x) = \frac{x^{2} + 6 x - 3}{x^{5} + x^{3} - 1} \end{array}

Hyperbler er blant de enkleste rasjonale funksjonene. Hyperbler er forholdet mellom to lineære funksjoner, $a x + b$ og $c x + d$ .

Teori

Hyperbler

Hyperbelen er en viktig rasjonal funksjon og er forholdet mellom to lineære funksjoner. Formelen for en hyperbel er

f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}

Hyperbel med korresponderende horisontale og vertikale asymptoter i stiplet linje

En hyperbel har en vertikal og en horisontal asymptote (de stiplede linjene).

Formel

Asymptotene til en hyperbel

Vertikal asymptote

er der nevneren er lik null. Du kan bruke denne formelen:

x = - \frac{d}{c} .

Horisontal asymptote

er verdien grafen går mot når $x \to \pm \infty$ . Du kan bruke denne formelen:

y = \frac{a}{c} .

Eksempel 1

Funksjonen til en hyperbel er gitt ved

f (x) = \frac{2 x + 2}{x - 1} .

Finn asymptotene og grafens skjæring med aksene.

Den generelle formelen til en hyperbel er

f (x) = \frac{a x + b}{c x + d} .

I denne oppgaven er $a = 2$ , $b = 2$ , $c = 1$ og $d = - 1$ . Du finner den vertikale asymptoten slik:

x = - \frac{d}{c} = - \frac{(- 1)}{1} = 1 .

Den vertikale asymptoten er $x = 1$ . Deretter finner du den horisontale asymptoten:

y = \frac{a}{c} = \frac{2}{1} = 2 .

Den horisontale asymptoten er $y = 2$ . Skjæring med $y$ -aksen finner du ved å sette $x = 0$ , fordi $x$ -koordinaten er 0 langs hele $y$ -aksen. Dette gir:

f (0) = \frac{2 \cdot 0 + 2}{0 - 1} = \frac{2}{- 1} = - 2 .

Hyperbelen skjærer $y$ -aksen i $(0, - 2)$ . Skjæring med $x$ -aksen finner du ved å sette $f (x) = 0$ , fordi $y$ -koordinaten er 0 langs hele $x$ -aksen. Dette gir:

f (x) = \frac{2 x + 2}{x - 1} = 0 .

Det holder å sette telleren lik null, siden en brøk er null så lenge telleren er null. Da får du

\begin{array}{l} 2 x + 2 & = 0 \\ 2 x & = - 2 | : 2 \\ x & = - 1 \end{array}

Hyperbelen skjærer $x$ -aksen i $(- 1, 0)$ .

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Logaritmefunksjoner og funksjonsdrøfting

Tilbake