Trekanter – 30°, 60°, 90°

Når du har en trekant med vinklene $30$ $^{\circ}$ , $60$ $^{\circ}$ og $90$ $^{\circ}$ , er lengden av den korteste kateten alltid halvparten av hypotenusen. Du vet også at den lengste kateten er roten av tre ganger den korteste kateten.

30, 60 og 90 trekant

Regel

I en « $30$ $^{\circ}$ - $60$ $^{\circ}$ - $90$ $^{\circ}$ »-trekant har sidelengdene følgende sammenheng:

\begin{array}{l} kort katet & = k, \\ lang katet & = \sqrt{3} k, \\ hypotenus & = 2 k, \end{array}

der $\sqrt{3} \approx 1, 73$ .

Eksempel 1

En $´ 30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ} ˇ$ -trekant har hypotenus lik $12 cm$ . Finn lengden av katetene.

Siden dette er en « $30$ $^{\circ}$ - $60$ $^{\circ}$ - $90$ $^{\circ}$ »-trekant, vet du at den korte kateten er halvparten av hypotenusen, altså $k = \frac{12 cm}{2} = 6 cm$ . Du kan nå finne den siste kateten enten ved å bruke av Pytagoras’ setning eller sammenhengen $\sqrt{3} k$ . Her viser jeg begge. Først med Pytagoras:

\begin{array}{l} k^{2} + 6^{2} & = 1 2^{2} \\ k^{2} & = 144 - 36 \\ \sqrt{k^{2}} & = \sqrt{108} \\ k & \approx 10, 39 \end{array}

Så med sammenhengen $\sqrt{3} k$ : $\begin{array}{l} lang katet & = \sqrt{3} \cdot k \\ \sqrt{3} \cdot 6 cm \\ \approx 10, 39 cm \end{array}$

Den siste kateten er $10, 39$ cm.

Eksempel 2

Du har en $´ 30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ} ˇ$ -trekant der den lengste kateten er $3 cm$ . Finn lengden av de to andre sidene.

Siden dette er en « $30$ $^{\circ}$ - $60$ $^{\circ}$ - $90$ $^{\circ}$ »-trekant, vet du at den korteste kateten er halvparten av hypotenusen $h$ . Dermed kan du lage følgende likning:

\begin{array}{l} 3^{2} + {(\frac{1}{2} h)}^{2} & = h^{2} \\ 9 & = h^{2} - \frac{1}{4} h^{2} \\ 9 & = \frac{3}{4} \cdot h^{2} | \cdot \frac{4}{3} \\ \frac{4}{3} \cdot 9 & = h^{2} \\ \sqrt{12} & = \sqrt{h^{2}} \\ 3, 5 & \approx h \end{array}

Hypotenusen er $3, 5$ cm. Den korte kateten er halvparten av hypotenusen, altså

k = \frac{3, 5 cm}{2} = 1, 75 cm .

Eksempel 3

Du har en likesidet trekant der sidene er $6 cm$ . Hva er høyden i trekanten?

Høyden i trekanten er lik den ene kateten i en trekant med vinkler på $30$ $^{\circ}$ , $60$ $^{\circ}$ og $90$ $^{\circ}$ , siden vinklene i en likesidet trekant er $60$ $^{\circ}$ . Hypotenusen er $6$ cm. Den andre kateten er halvparten av hypotenusen, altså $3$ cm.

Likesidet trekant med sidene 6 cm

\begin{array}{l} h^{2} + 3^{2} & = 6^{2} \\ h^{2} & = 36 - 9 \\ \sqrt{h^{2}} & = \sqrt{27} \\ h & \approx 5, 2 \end{array}

Høyden

h

i den likesidede trekanten er dermed

5, 2

cm.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Areal av trekant

Tilbake