>Trigonometriske setninger>Hvordan løse trigonometriske grunnlikninger

Hvordan løse trigonometriske grunnlikninger

Når du løser trigonometriske likninger er det svært viktig at du får med deg alle løsningene! Vær derfor oppmerksom på perioden til funksjonen du jobber med og hvordan dette påvirker antall løsninger.

Regel

Trigonometriske grunnlikninger

Når $a, b \in [- 1, 1]$ og $n \in ℤ$ gjelder:

\begin{array}{l} \sin x = a \Rightarrow x & = u + n \cdot 2 π \\ x & = π - u + n \cdot 2 π \\ \cos x = b \Rightarrow x & = u + n \cdot 2 π \\ x & = - u + n \cdot 2 π \\ \tan x = c \Rightarrow x & = u + n \cdot π \end{array}

\begin{array}{l} \sin x = a \Rightarrow x & = u + n \cdot 2 π \lor x = π - u + n \cdot 2 π \\ \cos x = b \Rightarrow x & = u + n \cdot 2 π \lor x = - u + n \cdot 2 π \\ \tan x = c \Rightarrow x & = u + n \cdot π \end{array}

Her er

u

tallet du finner med

\sin^{- 1} (a)

\cos^{- 1} (b)

eller

\tan^{- 1} (c)

på kalkulatoren.

NB! Det er svært viktig at du sjekker hvilket intervall $x$ ligger på. Dette er fordi det er forskjellig fra oppgave til oppgave hvilke verdier du må sette inn for $n$ for å få med alle løsningene.

Eksempel 1

Løs likningen $4 \cos (π x + \frac{2 π}{3}) = 2$ for $x \in ⟨ 0, 2 π ⟩$

Først omformer du likningen til en grunnlikning:

\begin{array}{l} 4 \cos (π x + \frac{2 π}{3}) & = 2, \\ \cos (π x + \frac{2 π}{3}) & = \frac{1}{2} . \end{array}

Denne har løsningene

\begin{align} π x_{1} + \frac{2 π}{3} & = \frac{π}{3} + n \cdot 2 π, & (1) \\ π x_{2} + \frac{2 π}{3} & = - \frac{π}{3} + n \cdot 2 π, & (2) \end{align}

Du jobber først videre med (1):

\begin{array}{l} π x_{1} + \frac{2 π}{3} & = \frac{π}{3} + n \cdot 2 π \\ π x_{1} & = - \frac{π}{3} + n \cdot 2 π \\ x_{1} & = - \frac{1}{3} + 2 n \end{array}

Så jobber du med (2):

\begin{array}{l} π x_{2} + \frac{2 π}{3} & = - \frac{π}{3} + n \cdot 2 π \\ π x_{2} & = - π + n \cdot 2 π \\ x_{2} & = - 1 + 2 n \end{array}

Oppgaven forteller at du skal finne alle løsningene som ligger på intervallet $x \in ⟨ 0, 2 π ⟩$ . Disse finner du ved å vurdere $x_{1}$ og $x_{2}$ på intervallet.

Først ser du på $x_{1} = - \frac{1}{3} + 2 n$ . Dersom du setter inn $n = 1$ får du

x_{1} = - \frac{1}{3} + 2 \cdot 1 = \frac{5}{3},

som er i intervallet. Når du tester $n = 2$ får du at

x_{1} = - \frac{1}{3} + 2 \cdot 2 = \frac{11}{3} \in ⟨ 0, 2 π ⟩ .

Deretter tester du $n = 3$ :

x_{1} = - \frac{1}{3} + 2 \cdot 3 = \frac{17}{3},

som ligger i intervallet. Du legger nå merke til at dersom du tester $n = 4$ , så vil svaret havne utenfor intervallet som strekker seg fra $⟨ 0, 2 π \approx 6, 28 ⟩$ . Du har dermed funnet løsningene fra $x_{1}$ . Du må nå gjøre det samme for $x_{2} = - 1 + 2 n$ . Fremdeles må verdiene være på intervallet for at de skal være endel av løsningsmengden. Du får dermed:

\begin{array}{l} n = 1 \Rightarrow x_{2} & = - 1 + 2 \cdot 1 = 1 \in ⟨ 0, 2 π ⟩ \\ n = 2 \Rightarrow x_{2} & = - 1 + 2 \cdot 2 = 3 \in ⟨ 0, 2 π ⟩ \\ n = 3 \Rightarrow x_{2} & = - 1 + 2 \cdot 3 = 5 \in ⟨ 0, 2 π ⟩ \\ n = 4 \Rightarrow x_{2} & = - 1 + 2 \cdot 4 = 7 \notin ⟨ 0, 2 π ⟩ \end{array}

Som du ser ligger den siste verdien utenfor intervallet. Løsningsmengden på intervallet $⟨ 0, 2 π ⟩$ blir dermed:

x \in {1, \frac{5}{3}, 3, \frac{11}{3}, 5, \frac{17}{3}} .

Eksempel 2

Løs likningen $\sin (2 x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ for $x \in [0, 2 π ⟩$

Grunnlikningen

\sin (2 x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

har løsningene

\begin{align} 2 x_{1} - \frac{π}{3} & = \sin^{- 1} (\frac{1}{2}) + n \cdot 2 π, & (3) \\ 2 x_{2} - \frac{π}{3} & = π - \sin^{- 1} (\frac{1}{2}) + n \cdot 2 π . & (4) \end{align}

Først jobber du videre med (3):

\begin{array}{l} 2 x_{1} - \frac{π}{3} & = \frac{π}{6} + n \cdot 2 π \\ 2 x_{1} & = \frac{π}{2} + n \cdot 2 π | : 2 \\ x_{1} & = \frac{π}{4} + n \cdot π \end{array}

Så jobber du med (4):

\begin{array}{l} 2 x_{2} - \frac{π}{3} & = π - \frac{π}{6} + n \cdot 2 π \\ 2 x_{2} & = \frac{7 π}{6} + n \cdot 2 π | : 2 \\ x & = \frac{7 π}{12} + n \cdot π \end{array}

Du må nå finne løsningsmengden fra $x_{1}$ og $x_{2}$ . Verdiene må være på intervallet $x \in [0, 2 π ⟩$ for at de skal være endel av løsningsmengden. For $x_{1} = \frac{π}{4} + 2 π$ har du:

\begin{array}{l} n = 0 \Rightarrow x_{1} & = \frac{π}{4} + 0 = \frac{π}{4}, \\ n = 1 \Rightarrow x_{1} & = \frac{π}{4} + 1 π = \frac{5 π}{4}, \\ n = 2 \Rightarrow x_{1} & = \frac{π}{4} + 2 π = \frac{9 π}{4}, \end{array}

der $\frac{9 π}{4}$ ligger utenfor intervallet. Du tester derfor $x_{2} = \frac{7 π}{12} + n π$ : $\begin{array}{l} n = 0 \Rightarrow x_{2} & = \frac{7 π}{12} + 0 = \frac{7 π}{12}, \\ n = 1 \Rightarrow x_{2} & = \frac{7 π}{12} + 1 π = \frac{19 π}{12}, \\ n = 2 \Rightarrow x_{2} & = \frac{7 π}{12} + 2 π = \frac{31 π}{12}, \end{array}$