Valgtre

Et valgtre er et diagram som fremstiller sammensatte forsøk på en oversiktlig måte. Grenene på treet viser de ulike sannsynlighetene for de ulike utfallene for hvert delforsøk.

Teori

Valgtre

Valgtre er gull for å strukturere ulike utfall ved sammensatte forsøk. Diagrammet fungerer også godt når du vil finne ut hvor mange utfall en hendelse har. Valgtre krever at du har få forsøk.

Viktige huskeregler for valgtre:

1.: Når du beveger deg utover grenen multipliserer du sannsynlighetene for hvert utfall.
2.: Når flere grener passer for hendelsen adderer du sannsynlighetene for disse grenene. (Altså når du hopper fra gren til gren nedover eller oppover).

I valgtreet under ser du at $p_{1}$ er sannsynligheten for ett av utfallene og $p_{2}$ er sannsynligheten for det andre utfallet i forsøket. For hvert delforsøk har vi må ta hensyn til disse sannsynlighetene for å finne sannsynligheten for hvert utfall i det sammensatt forsøket.

Fra valgtreet ser du at i et forsøk med to delforsøk, der det er to utfall per delforsøk, så er sannsynligeheten for hvert utfall i hendelse gitt ved $p_{1} p_{1}$ , $p_{1} p_{2}$ , $p_{2} p_{1}$ og $p_{2} p_{2}$ .

Valgtre med to delforsøk med to utfall per delforsøk

Eksempel 1

Illustrer de forskjellige utfallene du kan få ved å kaste et kronestykke tre ganger, ved hjelp av et valgtre.

Det er to mulige utfall for hvert myntkast, kron (K) og mynt (M). Dermed blir det

2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

mulige utfall når et kronestykke kastes tre ganger. Dette illustreres godt ved hjelp av et valgtre:

Valgtre for kronestykkekast, med tre kast

Eksempel 2

Valgtre

Sannsynligheten for å få jente ved fødsel er $0, 486$ , mens sannsynligheten for å få gutt er $0, 514$ . Sannsynligheten for at et barn blir født uten fargesyn er $0, 044$ . Lag en krysstabell og et valgtre for å vise hva sannsynlighetene er for å få en jente og en gutt med eller uten fargesyn.

Fra teksten ser du at forsøkene er kjønn og fargesyn. Fra dette får du følgende muligheter:

Når du gjør forsøket på kjønn har du kun to alternativer å velge mellom: Gutt eller jente.
Når du gjør forsøket på fargesyn har du kun to alternativer å velge mellom: Fargesyn eller ikke fargesyn.

Du vet sannsynligheten for gutt og jente, men du har kun sannsynligheten for ikke fargesyn. Du finner derfor sannsynligheten for fargesyn. Ikke fargesyn og fargesyn er komplementære hendelser slik at du har:

P (fargesyn) + P (ikke fargesyn) = 1

Da får du:

\begin{array}{l} P (fargesyn) + 0, 044 & = 1 \\ P (fargesyn) & = 1 - 0, 044 \\ = 0, 956 \end{array}

Dersom du setter dette opp i et valgtre kommer det veldig enkelt frem hva du skal gjøre. Du skal nemlig gange sammen tallene som er langs hver gren. I et valgtre ser det slik ut:

Valgtre for kjønn, med to delforsøk

Her er utregningene som er gjort:

\begin{array}{l} P (fargesyn gitt gutt) & = 0, 514 \cdot \\ 0, 956 \\ = 0, 491 \\ P (fargesyn gitt jente) & = 0, 486 \cdot \\ 0, 956 \\ = 0, 465 \\ P (ikke fargesyn gitt gutt) & = 0, 514 \cdot \\ 0, 044 \\ = 0, 023 \\ P (ikke fargesyn gitt jente) & = 0, 486 \cdot \\ 0, 044 \\ = 0, 021 \end{array}

\begin{array}{l} P (fargesyn gitt gutt) & = 0, 514 \cdot 0, 956 \\ = 0, 491 \\ P (fargesyn gitt jente) & = 0, 486 \cdot 0, 956 \\ = 0, 465 \\ P (ikke fargesyn gitt gutt) & = 0, 514 \cdot 0, 044 \\ = 0, 023 \\ P (ikke fargesyn gitt jente) & = 0, 486 \cdot 0, 044 \\ = 0, 021 \end{array}

Nå kan du lese av de ulike sannsynlighetene for jenter og gutter, og fargesyn.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Produktsetningen

Neste oppslag

Bayes' setning og total sannsynlighet

Tilbake