>Vektorregning>Volumet av firkantprisme, pyramide og tetraeder

Volumet av firkantprisme, pyramide og tetraeder

Dersom du skal finne volumet av et firkantprisme (parallellepiped), en pyramide eller et tetraeder (pyramide med trekantet grunnflate) som er utspent av tre vektorer tar du kryssproduktet av to av vektorene, og deretter skalarproduktet av dette og den tredje vektoren. For å finne volumet multipliserer du dette med tallet i formelen som tilhører figuren din.

For et firkantprisme trenger du ikke å gange med noe. For en pyramide med firkantet grunnflate er faktoren $\frac{1}{3}$ og for et tetraeder er faktoren $\frac{1}{6}$ . NB! Noen ganger får du et negativt tall. Det gir ingen mening med negativt volum. Derfor tar du alltid absoluttverdien til svaret, for eksempel $V = | - 14 | = 14$ .

Formel

Volumet av et firkantprisme

V_{F} = | (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} |

Prisme utspent av tre vektorer

Eksempel 1

Du skal finne volumet av firkantprismet som er utspent av $[1, 3, - 2]$ , $[- 3, 2, 4]$ og $[1, 1, 1]$ .

Du må nå krysse to av vektorene og prikke dette kryssproduktet med den siste vektoren. Kryssproduktet av de to første vektorene er $[16, 2, 11]$ . Du prikker nå dette med $[1, 1, 1]$ :

[16, 2, 11] \cdot [1, 1, 1] = 16 + 2 + 11 = 29

Volumet er derfor 29. Dersom du hadde fått et negativt svar måtte du ha tatt absoluttverdien av dette for å få den positive verdien til tallet.

Formel

Volumet av en pyramide

V_{P} = \frac{1}{3} | (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} |

NB! Denne formelen gjelder bare når basen til pyramiden er en firkant. Når basen er en trekant kalles objektet et tetraeder, og har en egen formel.

Pyramide utspent av tre vektorer

Eksempel 2

Du skal finne volumet av en pyramide som er utspent av $[1, 3, - 2]$ , $[- 3, 2, 4]$ og $[1, 1, 1]$ .

Du må nå krysse to av vektorene og prikke dette kryssproduktet med den siste vektoren. Deretter må du multiplisere svaret med $\frac{1}{3}$ . Kryssproduktet av de to første vektorene er $[16, 2, 11]$ . Du prikker dette med $[1, 1, 1]$ og får 29. Dette tallet multipliserer du nå med $\frac{1}{3}$ :

\frac{1}{3} \cdot 29 = \frac{29}{3}

Volumet er derfor $\frac{29}{3}$ . Dersom du hadde fått et negativt svar måtte du ha tatt absoluttverdien av dette for å få den positive verdien til tallet.

Formel

Volumet av et tetraeder

V_{T} = \frac{1}{6} | (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} |

Tetraheder utspent av tre vektorer

Eksempel 3

Du skal finne volumet av en tetraeder som er utspent av $[1, 3, - 2]$ , $[- 3, 2, 4]$ og $[1, 1, 1]$ .

Du må nå krysse to av vektorene og prikke dette kryssproduktet med den siste vektoren. Deretter må du multiplisere svaret med $\frac{1}{6}$ . Kryssproduktet av de to første vektorene er $[16, 2, 11]$ . Du prikker dette med $[1, 1, 1]$ og får 29. Dette tallet multipliserer du nå med $\frac{1}{6}$ :

\frac{1}{6} \cdot 29 = \frac{29}{6}

Volumet er derfor $\frac{29}{6}$ . Dersom du hadde fått et negativt svar måtte du ha tatt absoluttverdien av dette for å få den positive verdien til tallet.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Arealet av en trekant

Tilbake