Як розв'язувати нерівності третього степеня і вище

Спершу перемiсти всi члени в лiву частину нерiвностi. Потiм потрiбно розкласти на множники кубiчне рiвняння $P(x)$. Для цього вгадуємо розв’язок. Пiд час вгадування доцiльно почати зi значень $x=1,-1,2,-2,\dots$. Пiдставивши цi значення у кубiчний вираз, з’ясовуємо, що $P(1)=0$, а отже, $x=1$ є нулем виразу $P(x)$. Пiсля цього виконуємо дiлення многочлена стовпчиком: дiлимо $P(x)$ на $x-1$ i отримуємо квадратичний вираз:

$$\begin{array}{llll}\hfill x^3+6x^2-6& >2x^2-x& \hfill & \\ \hfill x^3+6x^2-6-2x^2+x& >0& \hfill & \\ \hfill x^3+4x^2+x-6& >0& \hfill & \end{array}$$

Розв’язуємо цю нерiвнiсть як рiвняння. Для цього задаємо лiву частину рiвною нулю. Вгадуємо розв’язок, починаючи з $x=1$:

$$\begin{array}{llll}\hfill P(1)& ={(1)}^3+4{(1)}^2+(1)-6& \hfill & \\ \hfill & =1+4+1-6& \hfill & \\ \hfill & =0.& \hfill & \end{array}$$

На щастя, довелося перевiрити лише один розв’язок. Ми визначили, що $x=1$ є розв’язком $P(x)=0$, а отже, $x=1$ є нулем $P(x)$. Тепер можна виконати дiлення многочлена стовпчиком для $P(x):(x-1)$, щоб далi розкласти на множники $P(x)$:

Далi розкладаємо на множники розв’язок дiлення многочлена. Шляхом перевiрки визначаємо, що

$$x^2+5x+6=(x+2)(x+3).$$

Це означає, що розкладена на множники лiва частина кубiчної нерiвностi

Побудуй дiаграму знакiв для кожного множника у виразi i знайди точки, в яких частина $x^3+4x^2+x-6$ додатна та вiд’ємна. Через те, що початкова нерiвнiсть передбачала визначення точок, у яких $x^3+6x^2-6>2x^2-x$, потрiбно знайти iнтервали, для яких прямi на дiаграмi знакiв є суцiльними.

Згiдно з дiаграмою знакiв,

$$x^3+6x^2-6>2x^2-x$$

коли

$$x\in \left(-3,-2\right)\cup \left(1,\infty \right).$$