>Послідовності>Квадратні числа, кубичні числа, трикутні числа та інші фігурні числа

Квадратні числа, кубичні числа, трикутні числа та інші фігурні числа

Тут ти познайомишся з послiдовностями, члени яких не збiльшуються на однакову величину, а отже, якi не є арифметичними.

Щоб зрозумiти цi послiдовностi, потрiбно познайомитися з кiлькома їх видами. Нижче можеш побачити огляд поширених видiв послiдовностей. Деякi з них навiть є арифметичними.

Теорiя

Важливi послiдовностi

Парнi числа:

$a_{n} = 2 n$

Непарнi числа:

$a_{n} = 2 n - 1$

Експоненти:

$a_{n} = k^{n - 1}$

Послiдовнiсть Фiбоначчi:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, $\dots$

Парнi числа: $a_{n} = 2 n$

Непарнi числа: $a_{n} = 2 n - 1$

Експоненти: $a_{n} = k^{n - 1}$

Послiдовнiсть Фiбоначчi: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, $\dots$

Деякi послiдовностi мають назви на кшталт «квадратнi числа» (вiд «квадрат»), «трикутнi числа» (вiд «трикутник») тощо. Рiч у тiм, що числа в цих послiдовностях створюють дедалi бiльшi квадрати й трикутники, як видно на рисунках нижче.

Приклад 1

Квадратнi числа

Послiдовнiсть квадратних чисел

1, 4, 9, 16, 25, \dots

складається з квадратiв цiлих чисел. Квадрат — це число, помножене саме на себе.

Послiдовнiсть чисел 1, 4, 9, 16 i 25

$1 \cdot 1 = 1$ , перше число в послiдовностi, — це квадрат числа $1$ , що дорiвнює $1^{2} = 1$ . $2 \cdot 2 = 4$ , друге число в послiдовностi, — це квадрат числа $2$ , що дорiвнює $2^{2} = 4$ . $3 \cdot 3 = 9$ , третє число в послiдовностi, — це квадрат числа $3$ , що дорiвнює $3^{2} = 9$ . $4 \cdot 4 = 16$ , четверте число в послiдовностi, — це квадрат числа $4$ , що дорiвнює $4^{2} = 16$ . $n \cdot n = n^{2}$ , довiльне число в послiдовностi, — це квадрат $n$ , що дорiвнює $f (n) = n^{2}$ . Знайди сьомий член послiдовностi. Для цього достатньо пiдставити $n = 7$ у формулу:

f (7) = 7 \cdot 7 = 7^{2} = 49

Приклад 2

Кубiчнi числа

Формула знаходження $n$ -го члена послiдовностi кубiчних чисел має вигляд $f_{n} = n^{3}$ . На рисунку нижче показано, як змiнюється послiдовнiсть вiд члена до члена:

Послiдовнiсть чисел 1, 8, 27 i 64

Приклад 3

Прямокутнi числа

Послiдовнiсть прямокутних чисел

2, 6, 12, 20, 30, \dots

складається з добуткiв послiдовних цiлих чисел на осi дiйсних чисел. Це означає, що кожне число вiдповiдає площi прямокутника зi сторонами, якi дорiвнюють двом послiдовним цiлим числам.

Площа прямокутника розраховується як його довжина, помножена на ширину.

Послiдовнiсть чисел 2, 6 i 12

$1 \cdot 2 = 2$ . Перше число послiдовностi — це площа прямокутника зi сторонами $1$ i $2$ . $2 \cdot 3 = 6$ . Друге число послiдовностi — це площа прямокутника зi сторонами $2$ i $3$ . $3 \cdot 4 = 12$ . Третє число послiдовностi — це площа прямокутника зi сторонами $3$ i $4$ . $4 \cdot 5 = 20$ . Четверте число послiдовностi — це площа прямокутника зi сторонами $4$ i $5$ . $f = n \cdot (n + 1)$ . $n$ -й член послiдовностi — це площа прямокутника зi сторонами $n$ i $n + 1$ . Одна зi сторiн цього прямокутника дорiвнює $n$ . Iнша сторона прямокутника — це цiле число, що йде пiсля $n$ на осi дiйсних чисел, тобто $n + 1$ . На другiй фiгурi, де $n = 2$ , одна сторона прямокутника дорiвнює $2$ , а iнша сторона дорiвнює $n + 1 = 2 + 1 = 3$ . Щоб знайти восьмий член послiдовностi, пiдставляємо $n = 8$ у формулу i отримуємо

f = 8 \cdot (8 + 1) = 8 \cdot 9 = 72

Приклад 4

Трикутнi числа

Послiдовнiсть

1, 3, 6, 10, 15, \dots

називають «трикутними числами». Вона складається з половини площi прямокутника зi сторонами $n$ i $n + 1$ . На рисунку нижче зображено прямокутники, в яких замальовано лише половину кульок. Замальованi кульки вiдповiдають трикутним числам.

Послiдовнiсть чисел 1, 3, 6 i 10

З’ясуймо, що станеться, якщо помножити сторони прямокутника одна на одну, а потiм подiлити вiдповiдь на $2$ : $\begin{array}{l} \frac{1 \cdot 2}{2} & = 1, 1-ше трикутне число, \\ \frac{2 \cdot 3}{2} & = 3, 2-ге трикутне число, \\ \frac{3 \cdot 4}{2} & = 6, 3-тє трикутне число, \\ \frac{4 \cdot 5}{2} & = 10, 4-те трикутне число. \end{array}$

Площа прямокутника зi сторонами, що вiдповiдають послiдовним цiлим числам, дорiвнює

A = n \cdot (n + 1) .

Якщо подiлити її на $2$ , отримаємо площу трикутникiв. А отже, формула має вигляд

A = \frac{n \cdot (n + 1)}{2} .

Знайди шостий член послiдовностi. Просто пiдстав $n = 6$ у формулу — i отримаєш $\frac{6 \cdot 7}{2} = 21$ .

Коли познайомишся з цими послiдовностями, то зможеш використовувати їх для знаходження формул для бiльш складних послiдовностей, наприклад:

Приклад 5

На рисунках зображено фiгурнi числа:

Якщо уважно поглянути на цi фiгури, стане зрозумiлим, що їх можна розбити на двi групи:

Поєднання шаблонiв для трикутних i квадратних чисел

Як бачиш, фiгури складаються з квадратного i трикутного чисел. Оскiльки ми вже знаємо формули для цих чисел, то поєднуємо їх, щоб скласти формулу для цiєї особливої послiдовностi:

\begin{array}{l} f_{n} & = n^{2} + \frac{n \cdot (n + 1)}{2} \\ = \frac{2 n^{2}}{2} + \frac{n \cdot (n + 1)}{2} \\ = \frac{2 n^{2} + n^{2} + n}{2} \\ = \frac{3 n^{2} + n}{2} \end{array}

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Як працюють арифметичні послідовності?

Наступна стаття

Рекурсивні та явні формули для вираження послідовностей

Повернутися