Перетин площини та сфери

Сфера, яку перетинає площина по колу

У разi перетину сферичної поверхнi й площини перетином є точка або коло. У цiй статтi розглядається випадок, коли перетином є коло. Щоб дiзнатися про перетин у точцi, клацни тут.

Найчастiше вiд нас вимагається знайти вiдстань вiд центра сфери до площини та радiус перетину. Це робиться так:

Уявiмо пряму, що виходить iз центру сфери $C$ , уздовж вектора нормалi, що належить площинi. Ця пряма торкається площини в точцi $A$ . Довжину вiдрiзка мiж центром i площиною можна знайти за допомогою формули вiдстанi мiж точкою i площиною.
Уявiмо iншу пряму вiд центру до точки $B$ на колi перетину. Довжина цiєї прямої дорiвнюватиме радiусу сфери.
Довжина прямої вздовж площини вiд $A$ до $B$ дорiвнює радiусу кола перетину.
Три точки ( $A$ , $B$ i $C$ ) утворюють прямокутний трикутник iз кутом мiж $\vec{C A}$ i $\vec{A B}$ , який дорiвнює $90$ $^{\circ}$ . Використовуємо для трикутника теорему Пiфагора. Це означає, що знайти радiус кола перетину можна, розв’язавши рiвняння

${| \vec{A B} |}^{2} + {| \vec{C A} |}^{2} = {| \vec{C B} |}^{2}$

для знаходження $| \vec{A B} |$ .

Приклад 1

Дано коло з радiусом $R = 3$ та центром у точцi $C = (- 2, 1, 0)$ . Знайди вiдстань вiд центру $C$ до площини
$x - 3 y - 2 z - 1 = 0,$

i знайди радiус $r$ кола перетину.

Насамперед знаходимо вiдстань вiд центру до площини за допомогою формули вiдстанi мiж точкою та площиною. Отримуємо

\begin{array}{l} | \vec{C A} | & = \frac{| a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} \\ = \frac{| (- 2) - 3 \cdot 1 - 2 \cdot 0 - 1 |}{\sqrt{1 + {(- 3)}^{2} + {(- 2)}^{2}}} \\ = \frac{6}{\sqrt{14}} . \end{array}

Застосувавши теорему Пiфагора, отримуємо

\begin{array}{l} {| \vec{A B} |}^{2} + {| \vec{C A} |}^{2} & = {| \vec{C B} |}^{2} \\ r^{2} + {(\frac{6}{\sqrt{14}})}^{2} & = 3^{2} \\ r^{2} & = 9 - \frac{36}{14} = \frac{45}{7} \\ r & = \sqrt{\frac{45}{7}} . \end{array}

Ви з’ясували, що вiдстань вiд центра сфери до площини становить $\frac{6}{\sqrt{14}}$ , а радiус кола перетину дорiвнює $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{7}}$ .

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Перетин дотичної площини зі сферою

Повернутися