>Перетин>Як знайти перетин між прямою та площиною

Як знайти перетин між прямою та площиною

Перетин мiж прямою та площиною — це одна точка або нескiнченна кiлькiсть точок на площинi. У разi нескiнченної кiлькостi точок пряма фактично лежить на площинi.

Перетин мiж прямою та площиною

Щоб знайти перетин мiж прямою та площиною, дотримуйся такого порядку дiй:

Правило

Перетин мiж прямою та площиною

1.: Пiдстав параметричне рiвняння прямої в рiвняння площини.
2.: В нас лишився вираз iз однiєю змiнною — $t$ .
3.: Розв’яжи рiвняння для знаходження $t$ .
4.: Пiдстав знайдене значення $t$ у параметричне рiвняння прямої i знайди перетин $(x, y, z)$ .

Приклад 1

Потрiбно знайти перетин мiж прямою
$\begin{array}{l} l : x (t) & = 1 + t, \\ y (t) & = 2 t, \\ z (t) & = 2 + t \end{array}$

$l : x (t) = 1 + t, y (t) = 2 t, z (t) = 2 + t$

та площиною
$α : x - 3 y + 2 z = 9 .$

Пункт 1–3.

У цiй задачi цiлком природно виконати всi три кроки одночасно. Переглянь приклад i переконайся! Пiдстав параметричне рiвняння прямої в рiвняння площини i знайди $t$ . $\begin{array}{l} 1 + t - 3 (2 t) + 2 (2 + t) & = 9 \\ 1 + t - 6 t + 4 + 2 t & = 9 \\ - 3 t & = 4 \\ t & = \frac{- 4}{3} \end{array}$

Пункт 4.

Тепер можна пiдставити це значення в параметричне рiвняння для прямої:

\begin{array}{l} x (\frac{- 4}{3}) & = 1 + \frac{- 4}{3} = \frac{- 1}{3}, \\ y (\frac{- 4}{3}) & = 2 (\frac{- 4}{3}) = \frac{- 8}{3}, \\ z (\frac{- 4}{3}) & = 2 + \frac{- 4}{3} = \frac{2}{3} \end{array}

Це означає, що перетин

P = (\frac{- 1}{3}, \frac{- 8}{3}, \frac{2}{3}) .

Зверни увагу! Якщо не вдається знайти значення $t$ за допомогою цього методу, є двi можливi причини: пряма лежить на площинi або паралельна площинi.

Якщо пряма лежить на площинi, ми отримаємо розв’язок на кшталт $0$ = $0$ тощо. Це пов’язано з тим, що всi значення $t$ дають точку на площинi.

У будь-якому разi, доведеться перевiрити, чи це правда, щоб переконатися, що ми не припустилися жодної помилки. Для цього з’ясовуємо, чи напрямний вектор прямої перпендикулярний до вектора нормалi площини. Якщо вони не перпендикулярнi, то має бути одна точка перетину.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Перетин між площинами й осями координат

Наступна стаття

Як знайти лінію перетину між двома площинами

Повернутися