Білий логотип House of Math на різнобарвному квадраті
Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Що означає в математиці розбивання та замощення площини?

Замощення — це методика, яка використовується у всiх вимiрах, але ми маємо розглянути замощення тiльки у двовимiрному просторi, на площинi.

Теорiя

Замощення площини

Замощення площини — це розбивання площини на правильнi многокутники.

Це означає, що замощення площини можна розглядати як вiзерунок, який цiлком заповнює площину, так само як плитка заповнює пiдлогу. Це означає, що вiзерунок можна необмежено розширювати у всiх напрямках без будь-яких отворiв у пiдлозi Щоб не було отворiв, сума всiх кутiв, якi мають спiльну вершину, має становити 360∘.

Не всi многокутники можна використовувати для замощення площини. З правильних многокутникiв тiльки трикутник, квадрат i шестикутник можна скласти так, щоб сума кутiв дорiвнювала 360∘. З цiєї причини це єдинi фiгури, якi можна використовувати для замощення площини.

Замощення площини шестикутниками

Приклад 1

Якщо дано плитки у формi правильних п’ятикутникiв, чи можна замостити ними площину?

Щоб замостити площину многокутниками, сума всiх кутiв, якi мають спiльну вершину, має становити рiвно 360∘. Потрiбно знайти, скiльки дорiвнює кут правильного п’ятикутника. Для цього використаємо формулу внутрiшнього кута, яка дає нам

v = 180∘ −360∘ 5 = 180∘ − 72∘ = 108∘.

Це означає, що внутрiшнi кути п’ятикутника дорiвнюють 108∘. Якщо ми розташуємо три п’ятикутники поруч один з iншим, сума кутiв становитиме 324∘, що замало. Якщо ми розташуємо чотири п’ятикутники поруч один з iншим, сума кутiв становитиме 432∘, що забагато. З цiєї причини не можна використати правильнi п’ятикутники для замощення площини.

Приклад 2

Якщо дано правильнi трикутники та шестикутники, чи є спосiб скласти їх разом, щоб замостити площину?

Почнемо зi знаходження кутiв у вершинах правильного трикутника за формулою внутрiшнього кута. Отримаємо

v = 180∘ −360∘ 3 = 180∘ − 120∘ = 60∘.

Це означає, що внутрiшнi кути правильного трикутника дорiвнюють по 60∘.

Потiм знаходимо внутрiшнi кути правильного шестикутника за тiєю самою формулою. Отримаємо

v = 180∘ −360∘ 6 = 180∘ − 60∘ = 120∘.

Це означає, що внутрiшнi кути правильного шестикутника дорiвнюють по 120∘.

Якщо ми помiстимо два трикутники та два шестикутники поруч один з iншим так, щоб вони перетиналися в однiй точцi, то побачимо, що сума кутiв у цiй точцi становить

120∘ + 120∘ + 60∘ + 60∘ = 360∘.

Це означає, що можна використати два правильнi трикутники та два правильнi шестикутники для замощення площини.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Приклади геометричних візерунків
Повернутися