>Властивості трикутників>Що таке трикутники 30°–60°–90°?

Що таке трикутники 30°–60°–90°?

Якщо маємо трикутник iз кутами $30$ $^{\circ}$ , $60$ $^{\circ}$ i $90$ $^{\circ}$ , довжина коротшого катета завжди дорiвнює половинi довжини гiпотенузи. У такого трикутника довжина довшого катета завжди дорiвнює $\sqrt{3}$ помножити на довжину коротшого катета.

Трикутник 30, 60, 90 зi сторонами 2k, k i квадратний корiнь з 3k

Правило

У трикутника « $30$ $^{\circ}$ - $60$ $^{\circ}$ - $90$ $^{\circ}$ » сторони пов’язанi такими спiввiдношеннями:

\begin{array}{l} коротший катет & = k, \\ довший катет & = \sqrt{3} k, \\ гiпотенуза & = 2 k, \end{array}

where $\sqrt{3} \approx 1.73$ .

Приклад 1

У трикутника « $30^{\circ}$ - $60^{\circ}$ - $90^{\circ}$ » гiпотенуза дорiвнює $12 cм$ . Обчисли довжину катетiв.

Оскiльки це трикутник « $30$ $^{\circ}$ - $60$ $^{\circ}$ - $90$ $^{\circ}$ », то ми знаємо, що довжина коротшого катета дорiвнює половинi гiпотенузи або $k = \frac{12 cм}{2} = 6 cм$ . Тепер можна знайти iнший катет або за допомогою теореми Пiфагора або обчисливши його за формулою $\sqrt{3} k$ . Зараз я покажу тобi обидва варiанти. Спершу за теоремою Пiфагора:

\begin{array}{l} k^{2} + 6^{2} & = 1 2^{2} \\ k^{2} & = 144 - 36 \\ \sqrt{k^{2}} & = \sqrt{108} \\ k & \approx 10.39 \end{array}

А зараз iз $\sqrt{3} k$ : $\begin{array}{l} довший катет & = \sqrt{3} \cdot k \\ \sqrt{3} \cdot 6 cм \\ \approx 10.39 cм \end{array}$

Довжина довшого катета дорiвнює $10.39$ cм.

Приклад 2

У трикутника « $30^{\circ}$ - $60^{\circ}$ - $90^{\circ}$ » довший катет якого дорiвнює $3 cм$ . Обчисли довжину двох iнших сторiн.

Оскiльки це трикутник « $30$ $^{\circ}$ - $60$ $^{\circ}$ - $90$ $^{\circ}$ », то коротший катет дорiвнює половинi гiпотенузи $h$ . Отже, можна скласти таке рiвняння, використовуючи теорему Пiфагора:

\begin{array}{l} 3^{2} + {(\frac{1}{2} h)}^{2} & = h^{2} \\ 9 & = h^{2} - \frac{1}{4} h^{2} \\ 9 & = \frac{3}{4} \cdot h^{2} | \cdot \frac{4}{3} \\ \frac{4}{3} \cdot 9 & = h^{2} \\ \sqrt{12} & = \sqrt{h^{2}} \\ 3.5 & \approx h \end{array}

Гiпотенуза дорiвнює $3.5$ cм. Коротший катет дорiвнює половинi довжини гiпотенузи, тому,

k = \frac{3.5 cм}{2} = 1.75 cм .

Приклад 3

У рiвностороннього трикутника всi сторони якого дорiвнюють $6 cм$ . Яка висота трикутника?

У трикутника з кутами $30$ $^{\circ}$ , $60$ $^{\circ}$ та $90$ $^{\circ}$ висота трикутника дорiвнює одному з катетiв, оскiльки кути рiвностороннього трикутника дорiвнюють $60$ $^{\circ}$ . Гiпотенуза дорiвнює $6$ см. Другий катет дорiвнює половинi гiпотенузи, що становить $3$ см.

Приклад трикутника 30, 60, 90 зi стороною 6 см

\begin{array}{l} h^{2} + 3^{2} & = 6^{2} \\ h^{2} & = 36 - 9 \\ \sqrt{h^{2}} & = \sqrt{27} \\ h & \approx 5.2 \end{array}

Отже, висота

h

is становить

5.2

см.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Яка формула площі трикутника?

Повернутися