>Tallmønster og tallfølger>Kvadrattall, kubikktall, rektangeltall og trekanttall

Kvadrattall, kubikktall, rektangeltall og trekanttall

Her skal du lære om tallfølger som ikke øker med samme tall mellom hvert ledd. Disse tallfølgene er da ikke aritmetiske tallfølger.

Hemmeligheten bak å forstå disse tallfølgene er å kjenne til flere vanlige typer. Her kommer en oversikt over vanlige tallfølger du burde kjenne til. Dette er de alle vanligste. Noen av dem er også aritmetiske.

Teori

Viktige tallfølger

Partall:

$a_{n} = 2 n$

Oddetall:

$a_{n} = 2 n - 1$

Potenstall:

$a_{n} = k^{n - 1}$

Fibonaccitall:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, $\dots$

Partall: $a_{n} = 2 n$

Oddetall: $a_{n} = 2 n - 1$

Potenstall: $a_{n} = k^{n - 1}$

Fibonaccitall: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, $\dots$

Noen av følgene har navn som kvadrattall etter kvadratet, trekanttall etter trekanten og så videre. Det er fordi tallene som legges til danner større og større kvadrater, eventuelt større og større trekanter slik du ser av illustrasjonene under.

Eksempel 1

Kvadrattall

Kvardrattallene

1, 4, 9, 16, 25, \dots

har den egenskapen at den er satt sammen av kvadrater av hele tall. Et kvadrat er et tall ganget med seg selv.

Tallfølge av tallene 1, 4, 9 og 16

$1 \cdot 1 = 1$ , det første tallet i følgen er kvadratet av $1$ , nemlig $1^{2} = 1$ . $2 \cdot 2 = 4$ , det andre tallet i følgen er kvadratet av $2$ , nemlig $2^{2} = 4$ . $3 \cdot 3 = 9$ , det tredje tallet i følgen er kvadratet av $3$ , nemlig $3^{2} = 9$ . $4 \cdot 4 = 16$ , det fjerde tallet i følgen er kvadratet av $4$ , nemlig $4^{2} = 16$ . $n \cdot n = n^{2}$ , et tilfeldig tall i følgen er kvadratet av $n$ , nemlig $f (n) = n^{2}$ . Finn tallet for det sjuende leddet i følgen. Sett $n = 7$ inn i formelen:

f (7) = 7 \cdot 7 = 7^{2} = 49

Eksempel 2

Kubikktall

Formelen for det $n$ -te leddet til kubikktallene er $f_{n} = n^{3}$ . Illustrasjonen under viser hvordan følgen utvikler seg ledd for ledd:

Tallfølge av tallene 1, 8, 27 og 64

Eksempel 3

Rektangeltall

2, 6, 12, 20, 30, \dots

har den egenskapen at den er satt sammen av arealet av rektangler av hele tall som ligger etter hverandre på tallinjen.

Arealet av et rektangel er lengde ganget med bredde.

Tallfølge av tallene 2, 6 og 12

$1 \cdot 2 = 2$ . Det første tallet i følgen er rektangelet med sider $1$ og $2$ . $2 \cdot 3 = 6$ . Det andre tallet i følgen er rektangelet med sider $2$ og $3$ . $3 \cdot 4 = 12$ . Det tredje tallet i følgen er rektangelet med sider $3$ og $4$ . $4 \cdot 5 = 20$ . Det fjerde tallet i følgen er rektangelet med sider $4$ og $5$ . $f = n \cdot (n + 1)$ . Det $n$ -te leddet i følgen er rektangelet med sider $n$ og $n + 1$ . I dette rektangelet er den ene siden lik $n$ . Den andre siden i rektangelet er det tallet som ligger etter $n$ på tallinjen, altså $n + 1$ . På figur 2, altså når $n = 2$ , er den ene siden lik 2. Den andre siden er lik $n + 1 = 2 + 1 = 3$ . For å finne det åttende leddet i følgen setter du $n = 8$ inn i formelen og får

f = 8 \cdot (8 + 1) = 8 \cdot 9 = 72

Eksempel 4

Trekanttall

Tallfølgen

1, 3, 6, 10, 15, \dots

kalles «trekanttallene». Følgen er bygget opp av arealet av et rektangel med sider $n$ og $n + 1$ , for deretter å deles på $2$ . På figuren under ser du rektangler der halvparten av kulene er helt fargelagt. Det er de helt fargelagte kulene som viser trekanttallene.

Tallfølge av tallene 1, 3, 6 og 10

La oss se hva som skjer når vi ganger sidene i rektangelet med hverandre og deler dem på $2$ : $\begin{array}{l} \frac{1 \cdot 2}{2} & = 1, det første trekanttallet, \\ \frac{2 \cdot 3}{2} & = 3, det andre trekanttallet, \\ \frac{3 \cdot 4}{2} & = 6, det tredje trekanttallet, \\ \frac{4 \cdot 5}{2} & = 10, det fjerde trekanttallet. \end{array}$

Arealet av et rektangel med etterfølgende sidelengder er

A = n \cdot (n + 1) .

Når vi deler dette på $2$ får vi arealet av trekantene. Formelen blir da

A = \frac{n \cdot (n + 1)}{2} .

Finn nå tallet for den sjette figuren i følgen. Da setter du $n = 6$ i formelen og får $\frac{6 \cdot 7}{2} = 21$ .

Når du kan disse tallfølgene kan du bruke dem til å finne formler for vanskeligere tallfølger. Se på dette eksemplet:

Eksempel 5

Her ser du følgende figurtall:

Etter å ha studert disse ser du at de kan deles i to grupper på følgende måte:

En kombinasjon av tallfølgen for kvadrattall og trekanttall

Her ser du at disse figurene er satt sammen av kvadrattall og trekanttall. Siden du nå kan disse formlene, vil formelen for denne være de to andre satt sammen:

\begin{array}{l} f_{n} & = n^{2} + \frac{n \cdot (n + 1)}{2} \\ = \frac{2 n^{2}}{2} + \frac{n \cdot (n + 1)}{2} \\ = \frac{2 n^{2} + n^{2} + n}{2} \\ = \frac{3 n^{2} + n}{2} \end{array}

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Hva er aritmetiske tallfølger?

Neste oppslag

Rekursive og eksplisitte formler

Tilbake