Приклади розрахунків із рядами

Коли ми розглядали кредити з ануїтетною схемою погашення, то розв’язували подiбнi задачi за допомогою приведеної вартостi, але в цьому випадку використовуватимемо майбутню вартiсть.

Перiодичнi платежi можна виразити у виглядi геометричного ряду

Геометричний ряд, своєю чергою, можна представити у формi шкали часу:

Зверни увагу, що ряд складається з 10 членiв. Кожен член вiдповiдає одному щорiчному платежу; усi платежi вносяться протягом 10 рокiв. Тут $a_1=x$, $k=1.06$, а $n=10$. Важливо пам’ятати, що сума $S_{10}$ дорiвнює не $150000$, а $150000\cdot 1.06^{10}$, адже ми повертаємо не власне суму кредиту, а суму всiх платежiв за ним. Використовуємо формулу для знаходження суми геометричного ряду й розв’язуємо рiвняння для $x$:

$$\begin{array}{llll}\hfill S_n& =a_1\frac{k^n-1}{k-1}& \hfill & \\ \hfill 150000\cdot 1.06^{10}& =x\cdot \frac{1.06^{10}-1}{1.06-1}& \hfill & \\ \hfill 150000\cdot 1.06^{10}& \approx x\cdot 13.18& \hfill & \\ \hfill x& =\frac{150000\cdot 1.06^{10}}{13.18}& \hfill & \\ \hfill x& \approx 20381& \hfill & \end{array}$$

Це означає, що для того, щоб погасити кредит у розмiрi $$150000$ за $10$ рокiв, тобi доведеться виплачувати щороку близько $$20381$. Додавши всi десять платежiв, ти побачиш, що муситимеш заплатити набагато бiльше, нiж $$150000$. Не вiриш? Перевiр!

Якщо порiвняти цей розв’язок iз тим, який ми отримали за допомогою приведеної вартостi, побачимо, що вони дещо вiдрiзняються. Це пов’язано з тим, що пiд час розрахункiв числа округлюються до рiзної кiлькостi знакiв пiсля коми, що дає дещо рiзнi результати.

Нам вiдомо, що сума кожного платежу становить $$1627.45$, а отже, Люба муситиме сплачувати цю суму щороку протягом 10 рокiв.

Перiодичнi платежi можна виразити у виглядi геометричного ряду

де перший член $a_1$ i спiввiдношення $k$ дорiвнюють Є два рiзнi способи розв’язати цю задачу. Перший — використати формулу для знаходження суми геометричного ряду

$$S_{10}=\frac{1627.45}{1+i}\cdot \genfrac{}{}{1.0pt}{}{{\left(\frac{1}{1+i}\right)}^{10}-1}{\frac{1}{1+i}-1},$$

припустивши, що $i=0.10$, i порахувавши вiдповiдь за допомогою калькулятора. Вираз має такий вигляд:

$$S_{10}=\frac{1627.45}{1+0.10}\cdot \genfrac{}{}{1.0pt}{}{{\left(\frac{1}{1+0.10}\right)}^{10}-1}{\frac{1}{1+0.10}-1},$$

що, як виявляється, дорiвнює розмiру кредиту. А отже, ми показали, що розмiр вiдсоткiв рiчних становить $10$ %, адже якщо $i=0.10$, то сума перших 10 членiв ряду дорiвнює розмiру кредиту.

Другий метод полягає в тому, щоб скласти рiвняння, в якому сума дорiвнює розмiру кредиту, а потiм розв’язати рiвняння для знаходження вiдсоткiв $i$. Рiвняння матиме такий вигляд:

$$\frac{1627.45}{1+i}\cdot \genfrac{}{}{1.0pt}{}{{\left(\frac{1}{1+i}\right)}^{10}-1}{\frac{1}{1+i}-1}=10000$$

Найпростiший спосiб розв’язати рiвняння — скористатися цифровим iнструментом, як-от СКА на GeoGebra. Отримаємо два розв’язки:

$$i_1=-7.8\text{i}{i}_2=0.1,$$

але оскiльки вiдсоток не може бути вiд’ємним, дiйсним є лише розв’язок $i_2=0.10$. А ще, як i планувалося, ми показали, що значення вiдсотка становить $10$ %.

Банк стверджує, що якщо надходження до фонду за рiк становлять $12\text{\%}$ рiчних, то iнвестувавши в цей фонд, Люба отримає стiйкий прибуток.

Частина 2. Визначаємо вартiсть Любиних грошей наприкiнцi $10$-го року у фондi.

Люба вклала у фонд всi $$10000$, якi взяла у кредит. З огляду на гарантований рiчний прибуток у $12$ % протягом 10 рокiв, можемо скористатися формулою для розрахунку майбутньої вартостi, щоб знайти вартiсть коштiв у момент часу, що нас цiкавить. Формула має вигляд

$$K_n=K_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n,$$

де $K_0=10000$, $p=12$, а $n=10$. Це означає, що вартiсть грошей у фондi через $10$ рокiв становитиме

а отже, вартiсть Любиних грошей у фондi через $10$ рокiв становитиме $$31058.48$.

Любин чистий прибуток через 10 рокiв являтиме собою рiзницю мiж сумою погашення кредиту i вартiстю її грошей у фондi.

Частина 3. Показуємо, що Любин чистий прибуток через 10 рокiв становитиме $\text{\$}5121.05$.

Ми знаємо, що майбутня вартiсть Любиних грошей у фондi становить приблизно $$31058.48$, але якою буде майбутня вартiсть кредиту через $10$ рокiв? Як вiдомо, приведена вартiсть кредиту становить $$10000$ за вiдсоткової ставки $10$ %. Можемо скористатися тiєю самою формулою, щоб знайти майбутню вартiсть кредиту:

$$K_n=K_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n,$$

де $K_0=10000$, $p=10$, а $n=10$. Отже, вираз для знаходження майбутньої вартостi має вигляд

а це означає, що майбутня вартiсть кредиту через $10$ рокiв становитиме приблизно $$25937.42$.

Отже, Любин чистий прибуток становитиме

$$\text{\$}31058.48-\text{\$}25937.42=\text{\$}5121.05.$$

Замiсть того, щоб використати кредит для iнвестування у фонд, Люба розглядає можливiсть внести цi кошти на ощадний рахунок у банку. Наприкiнцi кожного року вона вноситиме $\text{\$}1627.45$ на рахунок iз фiксованими вiдсотками рiчних. Перший депозит потрiбно внести через рiк.

Частина 4. Якими мають бути вiдсотки за Любиними заощадженнями, щоб через 10 рокiв сума на її ощадному рахунку в банку дорiвнювала сумi з частини 2?

У частинi 2 ми визначили, що вартiсть Любиних грошей у фондi наприкiнцi $10$-го року становитиме $$31058.48$.

Любинi заощадження можна виразити у виглядi геометричного ряду

де перший член ряду $a_1$ i спiввiдношення $k$ Задачу можна виразити за допомогою рiвняння або за допомогою формули знаходження суми геометричного ряду:

$$31058.48=1627.45\genfrac{}{}{1.0pt}{}{{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^{10}-1}{\left(1+\frac{p}{100}\right)-1}$$

Щоб розв’язати це рiвняння, радимо використовувати цифровий iнструмент, як-от СКА на GeoGebra. Отримаємо

$$p=13.73\text{,}$$

що означає, що вiдсотки за заощадженнями мають становити щонайменше $13.73$ %, щоб через $10$ рокiв Люба отримала вiд них той самий прибуток, що й вiд iнвестування у фонд, за умови, що щороку вона вноситиме на рахунок $$1627.45$.

Нехай сума вiдсоткiв за мiсяць становить $x$. Знайдемо приведену вартiсть перiодичних платежiв. З’ясувавши приведену вартiсть, зможемо побудувати геометричний ряд

$$\frac{69,9}{x}+\frac{69,9}{x^2}+\cdots +\frac{69,9}{x^{36}}.$$

Цей геометричний ряд також можна виразити у виглядi шкали часу:

Сума цього геометричного ряду є сумою, яку Лiндсi могла б сплатити наперед, — $1599$. Як бачимо, $a_1=\frac{69,9}{x}$, а $k=\frac{1}{x}$. Пiдставляємо цi значення у формулу знаходження суми геометричного ряду. Отримуємо

$$\begin{array}{llll}\hfill S_n& =a_1\cdot \frac{k^{3}6-1}{k-1},& \hfill & \\ \hfill 1599& =\frac{699}{x}\cdot \genfrac{}{}{1.0pt}{}{\frac{1}{x^n}-1}{\frac{1}{x}.-1}.& \hfill & \end{array}$$

Можемо розв’язати це рiвняння за допомогою цифрового iнструменту, наприклад СКА на GeoGebra. Отримаємо $x=-0.9$ i $x=1.03$. Позаяк вiдсоток не може бути вiд’ємним, то розв’язок має бути $x=1.03$. Це вiдповiдає вiдсотковiй ставцi $3$ % на мiсяць. Тодi сума вiдсоткiв на рiк становитиме

$$1.03^{12}=1.43,$$

що вiдповiдає рiчнiй вiдсотковiй ставцi $43$ % на рiк.

Це свiдчить про те, що завжди дешевше платити наперед. Лiндсi заощадила б чимало грошей, якби заплатила за ноутбук одразу.