>Ряд>Як розрахувати майбутню вартість за допомогою шкали часу

Як розрахувати майбутню вартість за допомогою шкали часу

В економiцi важливо знати майбутню вартiсть, адже вартiсть грошей змiнюється з часом. $ $1$ сьогоднi — не те саме, що $ $1$ через рiк. На вартiсть грошей впливають iнфляцiя та загальний економiчний розвиток у свiтi. Важливо враховувати це, коли розглядаєш грошову вартiсть у рiзнi перiоди часу.

Теорiя

Майбутня вартiсть

Коли ми говоримо про майбутню вартiсть, то описуємо вартiсть грошового потоку в певний момент у майбутньому. Майбутня вартiсть часто пов’язана iз заощадженнями та погашенням кредитiв. Вона має спiввiдношення

k = коефiцiєнт зростання = {(1 + \frac{p}{100})}^{n} .

Рiвняння для розрахунку майбутньої вартостi $K_{n}$ суми коштiв $K_{0}$ , яку планується використати протягом $n$ перiодiв часу, має вигляд

K_{n} = K_{0} \cdot {(1 + \frac{p}{100})}^{n},

де $p$ — це вiдсоткова ставка.

Приклад 1

Якщо ми внесемо $$ 5000$ у накопичувальний фонд iз гарантованим рiчним вiдсотковим прибутком у розмiрi $7.5 %$ протягом наступних 20 рокiв, то скiльки грошей матимемо через 20 рокiв?

\begin{array}{l} K_{n} & = 5000 \cdot {(1 + \frac{7.5}{100})}^{20} \\ = 21 239.26 $ \end{array}

K_{n} = 5000 \cdot {(1 + \frac{7.5}{100})}^{20} = 21 239.26 $

Це означає, що якщо внести $

5000

у фонд сьогоднi, то через 20 рокiв матимемо $

21 239

Перiодичнi платежi та заощадження

Коли ми розглядаємо перiодичнi платежi та заощадження, доцiльно скористатися шкалою часу. Шкала часу допоможе контролювати кiлькiсть перiодiв часу, протягом яких ми отримуємо вiдсотки за нашими внесками. Нижче наведено приклад розрахунку майбутньої вартостi, пов’язаної iз заощадженнями.

Приклад 2

Скiльки грошей ми матимемо в банку, якщо вiдкладатимемо $$ 100$ щомiсяця протягом 15 рокiв? Раз на рiк ми вносимо кошти на депозит iз вiдсотковою ставкою $4.7 %$ .

Для розв’язування завдань цього типу в пригодi стане шкала часу. Але спершу потрiбно з’ясувати, яку суму ми зможемо заощаджувати щороку:

100 \cdot 12 = $ 1200

Шкала часу має такий вигляд:

Шкала часу, на якiй показано майбутню вартiсть щорiчних внескiв

На її основi складаємо геометричний ряд

\begin{array}{l} 1200 & \cdot 1.047 + 1200 \cdot 1.04 7^{2} \\ + \dots + 1200 \cdot 1.04 7^{15}, \end{array}

1200 \cdot 1.047 + 1200 \cdot 1.04 7^{2} + \dots + 1200 \cdot 1.04 7^{15},

iз

a_{1} = 1200 \cdot 1.047, k = 1.047, n = 15 .

a_{1} = 1200 \cdot 1.047, k = 1.047, n = 15 .

Пiдставляємо цi числа у формулу знаходження суми геометричного ряду:

\begin{array}{l} S_{15} & = (1200 \cdot 1.047) \cdot \frac{1.04 7^{15} - 1}{1.047 - 1} \\ = $ 26 507.13 \end{array}

S_{15} = (1200 \cdot 1.047) \cdot \frac{1.04 7^{15} - 1}{1.047 - 1} = $ 26 507.13

Це означає, що за

15

рокiв ми заощадимо $

26 507.13

. Якби вiдсотки за внеском не накопичувались, ми заощадили б

1200 \cdot 15 = $ 18 000

. А отже, загальна сума вiдсоткiв складає

$ 26 507.13 - $ 18 000 = $ 8507.13,

що не може не радувати!

Приклад 3

01.01.2015 ми вiдкрили банкiвський рахунок з вiдсотковою ставкою $4.5 %$ i внесли на рахунок $$ 1000$ . Ми й надалi вноситимемо на рахунок $$ 1000$ на початку кожного нового року.

Частина 1. Усього потрiбно заощадити $$ 25 000$ . Скiльки рокiв нам доведеться заощаджувати, щоб отримати $$ 25 000$ , за умови, що вiдсоткова ставка $4.5 %$ не змiнюється?

Отримуємо геометричний ряд

\begin{array}{l} 1000 & \cdot 1.045 + 1000 \cdot 1.04 5^{2} \\ + \dots + 1000 \cdot 1.04 5^{n} . \end{array}

1000 \cdot 1.045 + 1000 \cdot 1.04 5^{2} + \dots + 1000 \cdot 1.04 5^{n} .

Цей геометричний ряд також можна зобразити у виглядi шкали часу:

Шкала часу, на якiй показано заощадження в розмiрi 1000 доларiв на рiк протягом n рокiв

Тут $a_{1} = 1000 \cdot 1.045$ , а $k = 1.045$ . Остаточна сума дорiвнює $S_{n} = 25 000$ , а отже, $n$ є невiдомим, яке потрiбно знайти. Це означає, що нам потрiбно скористатися формулою для знаходження суми геометричного ряду й розв’язати рiвняння для $n$ . Так отримаємо кiлькiсть рокiв, яку потрiбно заохаджувати кошти, щоб зiбрати бажану остаточну суму.

\begin{array}{l} S_{n} & = a_{1} \frac{k^{n} - 1}{k - 1} \\ 25 000 & = 1000 \cdot 1.045 \cdot \frac{1.04 5^{n} - 1}{1.045 - 1} \end{array}

Це рiвняння можна ввести в цифровий iнструмент на кшталт СКА вiд GeoGebra. Отримаємо розв’язок $n = 16.6$ . Це означає, що нам потрiбно заощаджувати 17 рокiв, щоб зiбрати остаточну суму $ $25 000$ на рахунку.

Частина 2. Потрiбно зiбрати загальну суму $$ 25 000$ лише за 15 рокiв. Яку суму потрiбно вносити на рахунок щороку, щоб зiбрати бажану суму, за умови, що вiдсоткова ставка $4.5 %$ не змiнюється?

Побудуємо геометричний ряд

\begin{array}{l} x \cdot 1.045 + x \cdot 1.04 5^{2} + \dots \\ + x \cdot 1.04 5^{14} + x \cdot 1.04 5^{15}, \end{array}

x \cdot 1.045 + x \cdot 1.04 5^{2} + \dots + x \cdot 1.04 5^{14} + x \cdot 1.04 5^{15},

який також можна виразити у виглядi шкали часу:

Шкала часу, на якiй показано заощадження x доларiв на рiк протягом 15 рокiв

Цього разу невiдомим є сума рiчного внеску $x$ . Отримуємо

\begin{array}{l} a_{1} & = x \cdot 1.045, k = 1.045, \\ n = 15, S_{n} = 25 000 . \end{array}

a_{1} = x \cdot 1.045, k = 1.045, n = 15, S_{n} = 25 000 .

Можемо використати формулу з частини 1, але тепер знаходимо

x

\begin{array}{l} S_{n} & = a_{1} \frac{k^{n} - 1}{k - 1} \\ 25 000 & = x \cdot 1.045 \cdot \frac{1.04 5^{15} - 1}{1.045 - 1} \end{array}

Можемо розв’язати це рiвняння за допомогою цифрового iнструмента, який покаже, що для того, щоб зiбрати $ $25 000$ за 15 рокiв, потрiбно щороку вносити на рахунок $ $1151.05$ .

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Як розрахувати приведену вартість за допомогою шкали часу

Наступна стаття

Приклади розрахунків із рядами

Повернутися