Диференціальне рівняння для гармонічних осциляторів

Почнемо з розв’язання характеристичного рiвняння:

$$r^2+Fr+1=0.$$

Розв’язуємо його i отримуємо

$$r=\frac{-F\pm \sqrt{F^2-4}}{2}.$$

Потiм потрiбно перевiрити, один чи два дiйснi розв’язки має характеристичне рiвняння, перш нiж з’ясувати, яку формулу використовувати для розв’язання диференцiального рiвняння. Для цього перевiряємо, чи є $F^2-4$ додатним, вiд’ємним, чи дорiвнює нулю.

$F^2-4$ вiд’ємне

У цьому випадку рiвняння не має розв’язкiв, оскiльки значення пiд квадратним коренем вiд’ємне. Для $F^2-4<0$ потрiбно мати $\left|F\right|<2$. Це означає, що в цьому випадку ми можемо отримати два типи коливань. Якщо $F=0$, тертя вiдсутнє, тож отримуємо незгасне коливання. Якщо $F$ додатне (але менше 2), отримуємо слабко згасне коливання.

$F=0$, незгаснi коливання:

якщо $F$ дорiвнює нулю, тертя вiдсутнє, тому тягарець узагалi не сповiльнюється. Пружина щоразу стискається i розширюється на однакову вiдстань. Вона не зупиняється. У цьому випадку розв’язок рiвняння має вигляд

$$y(x)=2\cos (x).$$

$0<F<2$, слабко згаснi коливання:

у цьому випадку присутнє невелике тертя, тому вага коливатиметься, але на дедалi меншiй вiдстанi вiд рiвноваги. Пружина спочатку стискається, потiм розширюється, а потiм знову стискається, але з дедалi меншою вiдстанню вiд рiвноваги. Для $F=0.44$ розв’язок диференцiального рiвняння має вигляд

$$\begin{array}{llll}\hfill y(x)& =2.05e^{-0.22x}& \hfill & \\ \hfill & \cdot \sin (x+1.35),& \hfill & \end{array}$$

$$\begin{array}{lll}\hfill y(x)=2.05e^{-0.22x}\sin (x+1.35),& & \hfill \end{array}$$

i має такий графiк:

$F^2-4$ дорiвнює нулю — критично згаснi коливання

У цьому випадку тертя якраз достатньо, щоб тягарець сповiльнився настiльки, щоб не вийти за межi рiвноваги. Тягарець зупиниться точно в точцi рiвноваги. Це можна побачити з характеристичного рiвняння, тому що критично згасне коливання має один подвiйний розв’язок, який у цьому випадку дорiвнює $r=-1$. Тодi розв’язок диференцiального рiвняння має вигляд

$$y(x)=2e^{-x}+2x{e}^{-x}.$$

$F^2-4$ додатне — надзгаснi коливання

У цьому випадку виникає «бiльше тертя, нiж потрiбно», що не дає пружинi вийти за межi рiвноваги. Це можна побачити з характеристичного рiвняння, тому що воно має два рiзнi дiйснi розв’язки. Для $F=4$ розв’язок диференцiального рiвняння має вигляд

Зверни увагу! Критичне згасання i надзгасання дуже схожi. Рiзниця мiж ними полягає в тому, що у разi надзгасання витрачається набагато бiльше часу на те, щоб тягарець повернувся до точки рiвноваги. Щоб роздiлити цi два випадки, потрiбно перевiрити, один чи два розв’язки має характеристичне рiвняння.

Ось огляд усiх типiв коливань. Уважно розглянь рiзницю мiж ними.

Зверни увагу! Пам’ятай, що в цьому прикладi ми розглядали тягарець масою $1$ к г i пружину з коефiцiєнтом $1$ N/м. Як правило, якщо тягарець має масу $m$, тертя $F$ i коефiцiєнт пружини $k$, розрахунки дещо вiдрiзняються, але ми маємо тi самi чотири типи коливань.

Диференцiальне рiвняння має вигляд

$$x^{″}+\frac{F}{m}{x}^{\prime }+\frac{k}{m}x=0,$$

а типи коливань такi:

$F=0$:

незгаснi коливання

$F^2-4mk$ вiд’ємне:

слабко згаснi коливання

$F^2-4mk$ дорiвнює нулю:

критично згаснi коливання

$F^2-4mk$ додатне:

надзгаснi коливання

Завдання 1

Дано характеристичне рiвняння

$$4r^2+4r+5=0.$$

Його можна розв’язати за допомогою квадратичної формули, отримавши

$$\begin{array}{llll}\hfill r& =\frac{-4\pm \sqrt{16-80}}{8}& \hfill & \\ \hfill & =\frac{-4\pm \sqrt{-64}}{8}& \hfill & \\ \hfill & =\frac{-4\pm 8i}{8}& \hfill & \\ \hfill & =-0.5\pm i& \hfill & \end{array}$$

Як бачимо, рiвняння має два розв’язки. В обох є $i$, що вказує на те, що це комплекснi розв’язки, а не дiйснi.

Щоб використовувати їх для знаходження загального виразу для $y$, використовуємо вираз

$$y=e^{Ax}(C_1\sin Bx+C_2\cos Bx),$$

для $A=-0.5$ i $B=1$. Отже, загальний розв’язок

$$y(x)=e^{-0.5x}(C_1\sin (x)+C_2\cos (x)).$$

Завдання 2

Константи iнтегрування — $C_1$ i $C_2$. Щоб їх визначити, потрiбно розв’язати систему рiвнянь, яку ми отримуємо з початкових умов $y(0)=3$ i $y\left(\frac{3\pi }{4}\right)=0$. Це система рiвнянь, у якiй $C_1$ i $C_2$ є двома невiдомими. Щоб отримати рiвняння, використовуємо значення $x=0$ i $x=\frac{3\pi }{4}$ з початкових умов. Спочатку використовуємо $x=0$ i отримуємо

$$\begin{array}{llll}\hfill 3& =y(0)& \hfill & \\ \hfill & =e^{-0.5\cdot 0}(C_1\sin (0)+C_2\cos (0))& \hfill & \\ \hfill & =1\cdot (C_1\cdot 0+C_2\cdot 1)& \hfill & \\ \hfill & =C_2.& \hfill & \end{array}$$

Перше рiвняння — це $C_2=3$. Наступне рiвняння:

$$\begin{array}{llll}\hfill 0& =y\left(\frac{3\pi }{4}\right)& \hfill & \\ \hfill & =e^{-0.5\cdot \frac{3\pi }{4}}\left(C_1\sin \left(\frac{3\pi }{4}\right)+C_2\cos \left(\frac{3\pi }{4}\right)\right)& \hfill & \\ \hfill & =e^{-0.5\cdot \frac{3\pi }{4}}\left(C_1\frac{\sqrt{2}}{2}+C_2\frac{-\sqrt{2}}{2}\right),& \hfill & \end{array}$$

що набуває вигляду

$$e^{-0.5\cdot \frac{3\pi }{4}}\left(C_1\frac{\sqrt{2}}{2}+C_2\frac{-\sqrt{2}}{2}\right)=0.$$

Це рiвняння дещо складне, тому рекомендується трохи його спростити, перш нiж розв’язувати систему рiвнянь у звичний спосiб.

Як бачимо, можна дiлити на $e^{-0.5\cdot \frac{3\pi }{4}}$ i на $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Рiвняння стає значно простiшим:

$$C_1-C_2=0$$

Це означає, що система рiвнянь, яку ми отримали з початкових умов, має вигляд

$$\begin{array}{llll}\hfill C_2& =3& \hfill & \\ \hfill C_1-C_2& =0.& \hfill & \end{array}$$

Розв’язуємо її у звичний спосiб i отримуємо

$$C_1=C_2=3.$$

Пiдставивши цi значення в загальний розв’язок, отримуємо частковий розв’язок, який задовольняє нашi початковi умови:

$$\begin{array}{llll}\hfill f(x)& =e^{-0.5x}(C_1\sin (x)+C_2\cos (x))& \hfill & \\ \hfill & =3e^{-0.5x}(\sin (x)+\cos (x))& \hfill & \end{array}$$

Завдання 3

У цьому завданнi потрiбно побудувати графiк для $x\in \left[0,3\pi \right)$. Отримуємо такий графiк:

Завдання 4

Потрiбно знайти нулi $f$. Для цього розв’язуємо $f(x)=0$. Отримуємо рiвняння

$$3e^{-0.5x}(\sin (x)+\cos (x))=0.$$

Як бачимо, $3e^{-0.5x}$ завжди додатне. Це означає, що можна подiлити рiвняння на $3e^{-0.5x}$; отримуємо

$$\sin (x)+\cos (x)=0.$$

Розв’язуємо рiвняння як нормальне тригонометричне рiвняння. Найпростiший спосiб — подiлити на $\cos (x)$; отримуємо

$$\tan (x)+1=0\iff \tan (x)=-1.$$

Це виконується лише для

$$x={\tan }^{-1}(-1)=-\frac{\pi }{4}+n\cdot \pi .$$

Тепер потрiбно знайти значення $x$, що лежать у iнтервалi $\left[0,3\pi \right)$. З’ясовуємо, що

$$x\in \left\{\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4},\frac{11\pi }{4}\right\}.$$

Тепер ми знаємо $f$. Пiсля цього потрiбно знайти екстремуми функцiї. Для цього задаємо $f^{\prime }(x)=0$. Спочатку знаходимо $f^{\prime }(x)$ за допомогою правила добутку. Отримуємо

Тепер потрiбно розв’язати рiвняння $f^{\prime }(x)=0$. Отримуємо Як i ранiше, можемо бачити, що $3e^{-0.5x}$ завжди додатне, тож можна подiлити на нього все рiвняння. Зробивши це, а потiм помноживши рiвняння на 2, отримуємо рiвняння Розв’язуємо його, подiливши на $\cos (x)$, i врештi отримуємо рiвняння

$$\tan (x)=\frac{1}{3}.$$

Це можливо лише за умови, що

$$x={\tan }^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\approx 0.32+n\cdot \pi .$$

Потрiбно знайти значення $x$ мiж 0 i $3\pi$. Отримуємо

$$x=\left\{0.32,3.46,6.60\right\}.$$

Ми знайшли значення $x$ екстремумiв $f$. На графiку бачимо, що $x=3.46$ є мiнiмумом, а $x=0.32$ i $x=6.60$ — максимумами. Тепер потрiбно знайти значення $y$ цих точок. Для цього пiдставляємо значення $x$ екстремумiв у функцiю $f(x)$. Отримуємо мiнiмум $(3.46,-0.67)$ i максимуми $(0.32,3.23)$ i $(0.32,0.14)$.